[Jens]

Oder jetzt mal ohne "Fachwissen" für jedermann.
Die Wahrscheinlichkeit am Anfang falsch zu liegen ist 2/3. Wenn man falsch auswählt, verrät einem der Moderator indirekt die richtige Lösung, weil er automatisch die andere, falsche Tür aus dem Spiel nimmt, bzw sie öffnet. Da man in 2 von 3 Fällen falsch auswählen wird, verrät euch der Moderator in 2 von 3 Fällen die richtige Antwort. Daher lohnt es sich in 2 von 3 Fällen zu wechseln!

[Paul]

Es sind 3 Tore, jedes mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 dass es gewählt wird. Man zieht eines heraus, es bleiben noch zwei mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Die Tore sehen alle exakt gleich aus, daher ist die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes zu wählen 1/n. Das ist ein Laplace erster Sahne, brauchste nur alle Mathematiker der Welt zu fragen. Was der Moderator macht ist für das Experiment vollkommen unerheblich, weil wir die Situation aus der Sicht des Kandidaten betrachten, für den die Tore alle gleichbedeutend sind. Erst im Moment als der Moderator eines entfernt ist es nicht mehr gleichbedeutend, aber dann ist dieses Tor auch nicht länger relevant für das Experiment.

Ich bin ohnehin der Meinung dass es vier Tore sind, weil der letzte Satz das suggeriert. Und wenn das der Fall ist, ist die Situation nicht mehr mathematisch auswertbar.

[Donat]

Es sind 3 Tore, jedes mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 dass es gewählt wird. Man zieht eines heraus, es bleiben noch zwei mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Die Tore sehen alle exakt gleich aus, daher ist die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes zu wählen 1/n. Das ist ein Laplace erster Sahne, brauchste nur alle Mathematiker der Welt zu fragen. Was der Moderator macht ist für das Experiment vollkommen unerheblich, weil wir die Situation aus der Sicht des Kandidaten betrachten, für den die Tore alle gleichbedeutend sind. Erst im Moment als der Moderator eines entfernt ist es nicht mehr gleichbedeutend, aber dann ist dieses Tor auch nicht länger relevant für das Experiment.

So, genau das war mein erster Gedanke. Ohne etwas von einem Laplace zu wissen (gerade erst 12te Klasse angefangen).
Dann hab ich das Problem mal nachgeschlagen und auch die Lösung von Jens schien mir einleuchtend.

Nun bin ich verwirrt. Wer hat Recht?!

[Marc]

Schön, dass meine Aufgabe eine solche Diskussion entfacht...

Also, natürlich hat Jens recht. Atlantis kann man aber zugute halten, dass das ganze zumindest auf den ersten Blick unlogisch ist. Das liegt einfach daran, dass das ganze kein 50:50 mehr ist, denn die zweite Runde der Torauswahl hängt nunmal mit der ersten zusammen. Hier zu sagen, es sei eine komplett neue Situation, ist falsch.

Im von Jens verlinkten Wikibeitrag steht es ja auch korrekt: "Ein Kandidat, der sich immer gegen den Wechsel entscheidet, gewinnt nur, wenn er auf Anhieb das richtige Tor trifft. Dies geschieht in einem Drittel der Fälle. Ein Kandidat, der immer wechselt, verliert in allen Fällen, in denen er ohne Wechsel gewonnen hätte, also einem Drittel der Fälle, und gewinnt folglich in zwei Dritteln der Fälle."

Und wo man der Aufgabenstellung eine vierte Tür entnehmen kann, ist mir ein Rätsel.

In einem TV-Studio sind drei Türen aufgebaut. Hinter einer steht ein Auto – der mögliche Gewinn, hinter den anderen beiden warten je eine Ziege – die Nieten. Der Kandidat wählt eine Tür, die aber zunächst verschlossen bleibt. Stattdessen öffnet der Moderator eine der beiden anderen Türen, und zwar eine, hinter der eine Ziege steht. Nun bietet der Moderator dem Kandidaten an, dass er sich auch noch für die dritte, bislang unbeachtete Tür entscheiden kann. Soll der Spieler dies tun?

[Jens]

Es ist kein Laplace, weil hier nicht entscheidend ist, wie die Wahrscheinlichkeit ist, Auto oder Ziege zu treffen, sondern ob man gewinnt oder verliert. Ein sechseitiger Würfel ist Laplace, weil jede Seite die gleiche Wahrscheinlichkeit hat(logischerweise 1/6) Die Wahrscheinlicheit beim der ersten Wahl "das Richtige" zu wählen, ist nicht gleich der Wahrscheinlichkeit das "Falsche" zu wählen. Ergo kein Laplace! ( Die Diskussion hatte ich übrigens auch mit meinem Mathelehrer xD )
Ginge es darum wie wahrscheinlich es ist, Auto, Ziege 1 oder Ziege 2 zu wählen, wäre es natürlich ein Laplace-Versuch. Das ist hier aber unrelevant.

Das ist aber hier eigentlich auch egal. Es zählt nämlich das Wahrscheinlichkeit B, direkt von Wahrscheinlichkeit A abhängt und damit keine 50:50 sein kann!!

[Paul]

Ich bin immer noch absolut sicher Recht zu haben. Die Erklärung ergibt für mich keinen Sinn, eben weil es keine Korrelation zwischen der Wahl des Kandidaten und der Wahl des Moderators gibt. Es wird immer eine Ziege aussortiert, gleich was für eine Wahl der Kandidat trifft, also ist es keine Wahrscheinlichkeit unter einer Bedingung. (Pb(A), wie man es in der Schule nennt.)

Im übrigen hab ich an der Antwort über den DNA-Test auch was auszusetzen, aber ich hab die Formel noch nicht gefunden. Weil wenn das stimmen würde, wären DNA-Tests als Beweismittel unzulässig. Eine von beiden Wahrscheinlichkeiten (0,000001 oder 0,999999) muss mit der Zahl der Verdächtigen potenziert werden, aber ich weiß noch nicht genau welche.

In einem TV-Studio sind drei Türen aufgebaut. Hinter einer steht ein Auto – der mögliche Gewinn, hinter den anderen beiden warten je eine Ziege – die Nieten. Der Kandidat wählt eine Tür, die aber zunächst verschlossen bleibt. Stattdessen öffnet der Moderator eine der beiden anderen Türen, und zwar eine, hinter der eine Ziege steht. Nun bietet der Moderator dem Kandidaten an, dass er sich auch noch für die dritte, bislang unbeachtete Tür entscheiden kann. Soll der Spieler dies tun?

Welche dritte Tür wenn bereits eine offen ist? Die Tatsache, dass es neben den beiden geschlossenen noch eine weitere Tür geben soll, impliziert, dass es insgesamt vier Türen gibt, von denen eine erst nachträglich zur Auswahl steht.

Es ist kein Laplace, weil hier nicht entscheidend ist, wie die Wahrscheinlichkeit ist, Auto oder Ziege zu treffen, sondern ob man gewinnt oder verliert.

Das ist genau dasselbe.

Die Wahrscheinlicheit beim der ersten Wahl "das Richtige" zu wählen, ist nicht gleich der Wahrscheinlichkeit das "Falsche" zu wählen.

Weil diese Wahl auch unerheblich ist. Es geht um die Wahrscheinlichkeit bei der zweiten Wahl das richtige zu treffen.

( Die Diskussion hatte ich übrigens auch mit meinem Mathelehrer xD )

Hat er mir zugestimmt?

[Jens]

Nein hat er nicht. Er hat nur gesagt, dass es einige paradoxe Situationen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Stochastik gibt.

Korrekt es geht darum bei der zweiten Wahl richtig zu liegen. Diese hängt aber direkt(!!) von der ersten Wahl ab. "Verliert" man die erste Wahl, ist trivial, dass bei der zweiten Wahl der Wechsel zum Sieg führt und andersrum.

Nein ist nicht dasselbe. Mit der ersten Wahl verliert man ja das Spiel nicht! Man legt mit der ersten Wahl nur die Wahrscheinlichkeiten bei der zweiten Wahl fest!

Marc hätte einfach sollen schreiben, dass der Kandidat zwischen der am Anfang ausgewählten und der nicht geöffneten Tür neu aussuchen darf... --> 3 Türen. Ausgewählte, Geöffnete und Ungeöffnete.

Aber ich mache dir ein Angebot. Einigen wir uns drauf, dass es ein Laplace Experiment ist. Darauf ist es auch mit meinem Mathelehrer rausgelaufen. (wenn auch mit Einschränkungen)
Ändert aber nichts daran, dass meine Lösung korrekt ist.

[Marc]

Im übrigen hab ich an der Antwort über den DNA-Test auch was auszusetzen, aber ich hab die Formel noch nicht gefunden. Weil wenn das stimmen würde, wären DNA-Tests als Beweismittel unzulässig. Eine von beiden Wahrscheinlichkeiten (0,000001 oder 0,999999) muss mit der Zahl der Verdächtigen potenziert werden, aber ich weiß noch nicht genau welche.

Wieso? Weißt du wie groß die Wahrscheinlichkeit für zufällige Übereinstimmungen bei "richtigen" DNA-Tests ist? Hier ist die Wahrscheinlich 1:1.000.000 und darauf kommt es an. Es geht schließlich nur um die rechnerische Wahrscheinlichkeit. Indizien und weitere Polizeiarbeit sind bei der Frage doch völlig außen vor.

Welche dritte Tür wenn bereits eine offen ist? Die Tatsache, dass es neben den beiden geschlossenen noch eine weitere Tür geben soll, impliziert, dass es insgesamt vier Türen gibt, von denen eine erst nachträglich zur Auswahl steht.

Offene Türen sind auch Türen. Genauso wie geschlossene. Wenn dort also steht, es gibt drei Türen, dann gibt es drei. Auf Teufel komm raus etwas Hineininterpretieren kann man aber natürlich immer...

[Paul]

Aber ich mache dir ein Angebot. Einigen wir uns drauf, dass es ein Laplace Experiment ist. Darauf ist es auch mit meinem Mathelehrer rausgelaufen. (wenn auch mit Einschränkungen)
Ändert aber nichts daran, dass meine Lösung korrekt ist.

Sorry, ich muss leider ablehnen und bin mir immer noch sicher, dass die Wahrscheinlichkeiten 50:50 sind. Warum sollten sie's auch nicht sein? Zwei Türen, eine ist richtig, eine falsch. Vielleicht hängt von der ersten Wahl ab, welche der drei Türen zum Schluss zur Auswahl stehen, aber das Resultat ist stets dasselbe: Eine von zwei Türen beinhaltet ein Auto, die andere eine Ziege. Die möglichen Optionen sind durch den Binomialkoeffizienten gegeben, n ist hier gleich 2 (Zahl der Türen), k ist gleich 1 (Zahl der günstigen Auswahlmöglichkeiten). Die Wahrscheinlichkeit ist 1 dividiert durch (2 über 1) was 0.5 ergibt.

quod erat demonstrandum

Offene Türen sind auch Türen. Genauso wie geschlossene. Wenn dort also steht, es gibt drei Türen, dann gibt es drei. Auf Teufel komm raus etwas Hineininterpretieren kann man aber natürlich immer...

Ich interpretiere gar nichts rein, habe auch beide Optionen in Betracht gezogen, die Aufgabenstellung war nur beschissen geschrieben. Wenn mir sowas in der Schule oder in der Uni passiert ist oder wäre habe/hätte ich das Angabenblatt vor dem Direx oder Dekan angefochten.

[Marc]

Sorry, bald habe ich keine Lust mehr auf die Diskussion. Jens hat oben einen Link zu Wikipedia gepostet. Wenn du ne Suchmaschine deiner Wahl startest und nach dem Ziegenproblem suchst, wirst du auch noch andere Seiten finden, die dir das ganze so bestätigen.

Und was die Türenanzahl angeht, steht da nix von 4 Türen. Nirgends. Aber egal...