Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Druckversion

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Paul - 16.12.2010

Mal etwas anspruchsvoller:

Zitat:100 Gefangenen wird willkürlich eine Zahl zwischen 1 und 100 zugewiesen, ohne Wiederholungen, also erhalten keine zwei Gefangenen dieselbe Zahl. Anschließend werden die Gefangenen der Reihe nach in einen Raum geführt, in dem 100 Schachteln stehen. In diesen Schachteln wurden die Zahlen 1 bis 100 nach dem Zufallsprinzip verteilt. Es ist nun die Aufgabe jedes Gefangenen, "seine" Zahl zu finden. Dazu darf jeder Gefangene insgesamt bis zu jeweils 50 Schachteln öffnen. Sollte er sie nicht finden, wird ihm für eine Woche das Essen gestrichen (oder er muss sich die Diskographie von Cher anhören, jedenfalls ist es kein wünschenswertes Ergebnis). Die 100 Gefangenen dürfen sich vor dem Beginn des Tests untereinander austauschen und eine Strategie besprechen, allerdings werden sie isoliert, sobald der erste Gefangene den Raum betreten hat. Ein Informationsaustausch während des Experiments ist somit ausgeschlossen.

Auf welche Strategie sollten sich die Gefangenen nun einigen, um die Chance, ihre Nummer zu finden, zu maximieren?

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Psychonaut - 17.12.2010

Ich verstehe die Schwierigkeit grad gar nicht. Ich würde einfach die Schachteln in Zehnergruppen anordnen. Also die erste Person, die reingeht, macht 50 Pakete auf, und ordnet die so, dass man sie anhand ihrer Position der enthaltenen Zahl zuordnen kann. Wer seine Zahl gefunden hat, macht bei den unbekannten Paketen weiter mit Öffnen, bis er seine 50 Pakete durch hat.

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Paul - 17.12.2010

Erstmal ist nicht mit Sortieren, reinschauen ja, das war's aber auch.

Zweitens mal raff ich grad nicht was das Sortieren bringen soll. Angenommen in den "linken" 50 Schachteln wären nur die geraden Zahlen enthalten, einer der aber die 1 sucht wird die trotz Sortierung nie in der linken Hälfte finden.

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Psychonaut - 17.12.2010

(17.12.2010, 14:08)Paul schrieb:  Zweitens mal raff ich grad nicht was das Sortieren bringen soll. Angenommen in den "linken" 50 Schachteln wären nur die geraden Zahlen enthalten, einer der aber die 1 sucht wird die trotz Sortierung nie in der linken Hälfte finden.

Die Schachtel ganz links würde die 1 enthalten, die rechts daneben die 2 etc. Bei der 11 würde eine neue Reihe darunter beginnen. Wenn eine Zahl noch nicht entdeckt wurde, wäre an dieser Stelle keine Schachtel (man würde dann einen bstand machen). Jetzt klar, wie's gemeint ist?

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Paul - 17.12.2010

Achsoo, du willst zwei separate Stapel machen. Ab dem dritten Gefangenen wären damit die Zahlen wieder sortiert.

Gute Idee, darauf bin ich noch gar nicht gekommen. Ich lasse das mal als Lösung gelten, weil in der Aufgabenstellung wie ich sie gefunden habe, nicht spezifiziert war, ob man die Reihenfolge ändern darf oder nicht.

Allerdings war das nicht die Lösung auf die ich eigentlich hinaus wollte, also steht die Fragestellung trotzdem noch offen für den Rest, der sich daran versuchen will.


EDIT: Also gut, es ist zwar nicht notwendig aber hier nochmal eine Anmerkung wie die Aufgabenstellung eigentlich gemeint ist.

Was eigentlich jedem sofort auffallen dürfte ist, dass wenn er 50 von 100 Schachteln öffnen darf, ein Gefangener also eine 50:50-Chance hat, seine eigene Zahl zu finden. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich im Verlauf des Experiments auch nicht, der erste Gefangene hat eine 50:50-Chance, der letzte genauso, unabhängig vom System das verfolgt wird oder wie viele Gefangene ihre Zahl gefunden haben, es bleiben nämlich alle Zahlen auch nach Fund immer noch im Spiel bleiben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Gefangene ihre eigene Zahl finden liegt somit bei 0,5^100 (Null Komma Fünf Hoch Hundert), eine Wahrscheinlichkeit sogar noch geringer, als dass ich jemals ein Techtelmechtel mit Jessica Alba haben werde. Es gibt allerdings ein bestimmtes System, eine Methode nach der man diese Wahrscheinlichkeit allerdings hochtreiben kann, und zwar auf ungefähr 30%. Diese Methode ist gesucht. (Ihr müsst aus der Methode nicht rauslesen können, dass es 30% sind und aus der Zahl lässt sich auch nicht die Methode deduzieren, das habe ich nur als informative Nebenbemerkung genannt.)

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Marc - 21.12.2010

Na komm, lös mal auf...

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Paul - 22.12.2010

Sorry, hatte über's Wochenende hinweg schon ganz vergessen dass ich hier ein Rätsel gestellt habe


Also, der Trick dahinter ist, die Vertauschung der Zahlen in den Schachteln als Permutationen zu sehen. Jeder Gefangene soll bei der Schachtel mit "seiner" Zahl anfangen und als nächstes die Schachtel öffnen, deren Zahl er in der soeben geöffneten vorgefunden hat. Somit läuft er die Schachteln in einer Kette ab. Das letzte Glied der Kette ist immer die Zahl die er sucht. Sofern keine der Ketten länger als 50 Glieder ist - und die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt eben grob 30% - werden alle 100 Gefangenen ihre entsprechende Zahl finden. Wenn es allerdings eine Kette gibt, die über 50 Glieder hat, dann finden zwangsläufig nur die Gefangenen, deren Zahl nicht in dieser Kette liegt, den gesuchten Zettel.

Hier mal grafisch dargestellt (Computersimulation):


Alle verstanden?

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Psychonaut - 22.12.2010

Nein.

Also wenn jemand die 30 sucht, geht er zuerst zur Schachtel 30, ja? Und dann zu der Schachtel, deren Zahl in dieser Schachtel zu finden war, richtig? Welchen Vorteil soll das bringen?

Vertauscht er dann die gefundenen Zahlen? Nicht, oder?

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Paul - 22.12.2010

Mal angenommen, es wären immer paarweise zwei Zahlen vertauscht, d.h. die 1 ist in der zweiten Schachtel und die 2 ist in der ersten. Für 3 und 4 gilt dasselbe, etc. Damit hat man eine Permutationskette der Länge zwei. Also findet ein Gefangener - in diesem Fall sogar jeder - seine Zahl auf den zweiten Versuch.

Zweites Beispiel: Es sind nicht zwei Zahlen sondern die ersten 50 Zahlen durchpermutiert. 2 ist in der ersten, 3 in der zweiten, 4 in der dritten etc. und 1 in der fünfzigsten Schachtel. Die Kette hat 50 Glieder und jeder Gefangene findet seine Zahl beim letzten Versuch.

Wenn nun allerdings die 1 in den hundertsten Karton gesteckt wird, und alle anderen um eins nach unten geschoben werden, findet gar keiner seine Zahl, weil die Kette 100 Glieder hat aber man nur 50 Schachteln öffnen darf.

Dadurch dass allerdings die Wahrscheinlichkeit einer Kette von mehr als 50 Gliedern relativ unwahrscheinlich ist, da es ja nicht zwangsläufig nur eine oder zwei Ketten geben muss, sondern beliebig viele möglich sind, erhöht es die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass alle 100 Gefangenen ihre Zahl finden von ungefähr einem Quintillionstel (30 Nullen nach dem Komma) auf erträgliche 30%.

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RE: Mathematisches und Paradoxes für Zwischendurch - Psychonaut - 23.12.2010

(22.12.2010, 22:27)Paul schrieb:  Mal angenommen, es wären immer paarweise zwei Zahlen vertauscht, d.h. die 1 ist in der zweiten Schachtel und die 2 ist in der ersten. Für 3 und 4 gilt dasselbe, etc.

Warum das denn? Angenommen, der Gefangene sucht die Zahl 8. Er selbst ist der Erste, macht also die Schachtel 2 auf. Dort ist die Nummer drin, die er dann aufmacht. Dort wiederum findet sich die Nummer 1, die wiederum die Nummer 2 enthält. So findet er seine Nummer ja nie.

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